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Sobre la biología matemática y el papel de las matemáticas en biología

La computación es tan prominente en genómica que se podría personar a un observador ingenuo si confundiera este campo con una rama de la robótica o la computación. [Sin embargo] los enfoques computacionales discutidos en el [First International Symposium on Computational Cell Biology] estuvieron firmemente enfocados a asuntos posgenómicos: la dinámica y el control de redes de genes y proteínas actuando dentro de las células.

Así describe Doyle (2001, p. 151) la reseña del simposio citado. Continúa:

Muchos experimentalistas están usando modelación matemática y computación para estudiar sistemas biológicos que son simplemente demasiado complejos para entenderlos con intuición y modelos informales. Por otro lado, quienes desarrollan los modelos entienden enteramente que éstos deben ser integrados con datos experimentales.

Los nombres son, después de todo, importantes. ¿Qué es la biología matemática? ¿Qué es la biomatemática?

Todos nos hemos encontrado con preguntas que no tienen respuesta, con preguntas con respuestas que nos dejan igual y respuestas, finalmente, que lo son en toda la plenitud de la palabra. Lo difícil, sin duda, es saber distinguir en el momento preciso, en la circunstancia adecuada, por qué hacemos la pregunta y por qué (o para qué) tal pregunta merece una respuesta.

Nuestra formación, nuestra historia, definen los rasgos de nuestro pensamiento, de las ideas que tenemos, de nuestras concepciones del mundo, nuestra Weltanschaung pues, como un maestro mío gustaba decir. Yo soy biólogo que se inició en el credo de que un biólogo que no se mancha las botas de lodo en el campo no es biólogo. Eso fue cuando era estudiante de licenciatura. Recién salido de la universidad, trabajé de biólogo haciendo precisamente eso: yendo al campo, muestreando, determinando, deduciendo, reportando. Una vez casi me quedo por ahí deshidratado, picado de alacranes, en la selva de Quintana Roo. Todas estas aventuras que como biólogos nos distinguen y nos dan rasgos de carácter comunes, inmediatamente vuelven evidente la necesidad de un cuerpo teórico de ideas y conceptos que le den coherencia a la cantidad de datos experimentales o de campo que la naturaleza, al estudiarla, nos proporciona. Tanto en los aspectos conceptuales como en los prácticos del quehacer biológico la importancia de la metodología, con toda su gama de posibilidades y derroteros, es enorme. Y una de las herramientas metodológicas que ha ganado importancia en muchas áreas de la biología es la matemática.

Los tiempos de irse a la selva de Quintana Roo con prensas, palas, cuchillos y claves a muestrear plantas están lejanos. Hoy mis herramientas son otras. Hoy aplico herramientas matemáticas para resolver problemas biológicos; hoy uso el lenguaje matemático para tratar de entender procesos, fenómenos que de otra manera no podría siquiera vislumbrar. Y en esta búsqueda una pregunta básica, o quizás deba decir una inquietud básica, y por lo tanto cruda, es entender mi quehacer; por qué hago lo que hago, por qué trabajo en esta área del conocimiento y no otra. Al igual que para los hombres y las mujeres su historia explica, aunque no determina, mucho de su ser y su quehacer, la historia nos permite entender los fundamentos de lo que hacemos, de lo que constituye el quehacer que nos absorbe buena parte de cada día y de cada semana.

La biología es, como todas las otras, una ciencia en constante evolución, con una multiplicidad de ramas por explorar que requieren de métodos, técnicas, enfoques particulares, a veces nuevos, a veces novedosos, a veces completamente tradicionales

Biología y matemáticas

La biología es, como todas las otras, una ciencia en constante evolución, con una multiplicidad de ramas por explorar que requieren de métodos, técnicas, enfoques particulares, a veces nuevos, a veces novedosos, a veces completamente tradicionales. A veces me gustaría aceptar, en mi ignorancia que es mucha, que el método hace a la ciencia, aunque inmediatamente me doy cuenta de que no hay un método únicamente, que hay una multiplicidad de métodos de adquisición de conocimiento científico y que, por lo tanto, no puede existir el método específico ideal de ciencia alguna.

En cualquier caso, la matemática ha hecho mella en la adquisición de conocimiento biológico desde hace varios siglos y, en el siglo pasado, en particular, su influencia fue relevante en varias áreas de las ciencias biológicas (Velasco-Hernández, 2000). Sólo cabe esperar que la aplicación de herramientas y lenguajes matemáticos en biología se incremente tanto en profundidad como en potencia en los años venideros (Chicurel, 2000).

En nuestro país, desafortunadamente, el desarrollo de la aplicación de métodos matemáticos para la modelación de sistemas y procesos biológicos ha sido desigual. Hay más actividad de investigación en el área desde la matemática que desde la biología. Así como la diversidad induce flexibilidad y capacidad de adaptación, así el desarrollo del pensamiento matemático desde los departamentos e institutos de biología es fundamental para darle a la matemática, dentro de la biología, el lugar que le corresponde en el quehacer diario del científico.

La aplicación de herramientas matemáticas en el estudio de fenómenos, procesos y conceptos biológicos es obviamente una actividad de creciente importancia que se ha desarrollado fundamentalmente al amparo de colaboraciones multidisciplinarias entre científicos de diversas áreas biológicas y matemáticos interesados en aplicar sus métodos a problemas surgidos de la teoría, el laboratorio o el trabajo de campo biológicos. Permítaseme llamar a esta actividad englobadora “biología matemática”. La definición es puramente utilitaria pero, por lo mismo, práctica para los fines de estos comentarios. En la actualidad desarrollos dictados por la biología matemática guían programas de investigación y en muchas áreas la biología matemática está indisolublemente ligada a prácticas experimentales. En biología, en mi opinión, no hay leyes; al menos no las hay en el sentido entendido en la física, y quizás por ello cada problema atacado desde una perspectiva matemática es un problema único de modelación, de construcción de modelos, de usos de marcos de referencia biológicos.

En biología la historia del objeto de investigación importa mucho y no puede ser despreciada. Cada problema atacado es particular y casi único, y en consecuencia las leyes generales formalizadas en lenguaje matemático son prácticamente inexistentes. La aplicación de las matemáticas a la biología toma esencialmente dos caminos: por un lado la aplicación rutinaria de técnicas conocidas; por otro, el desarrollo de nuevos métodos necesarios para el análisis de sistemas biológicos. En todo caso y evadiendo de manera conciente el incierto problema, al menos para mí, de definir conceptualmente lo que es la “biología matemática”, me atrevo a postular que su problema central es el siguiente: dado un problema biológico, ¿qué enfoque metodológico matemático o cuantitativo puede coadyuvar a su solución o su mejor entendimiento? Este planteamiento inmediatamente implica la necesidad del trabajo multi e interdisciplinario que integre especialistas de diferentes disciplinas biológicas y matemáticas que sean capaces de subordinar sus intereses disciplinarios naturales a la resolución de un problema común de naturaleza biológica. La importancia del trabajo multidisciplinario en biología matemática no puede ser soslayada, y es innegable que esta forma de trabajo necesariamente impacta el desarrollo de la teoría biológica (Bray, 2001). Sin embargo, no siempre ocurre así.

La aplicación de las matemáticas a la biología toma esencialmente dos caminos: por un lado a aplicación rutinaria de técnicas conocidas; por otro, el desarrollo de nuevos métodos necesarios para el análisis de sistemas biológicos

Construir un modelo matemático y analizarlo no es hacer biología. La exploración matemática de un fenómeno biológico, por ejemplo mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, no es equivalente a la construcción de una teoría biológica; es decir, el sistema de ecuaciones y sus soluciones no constituyen la encarnación de la teoría sobre el fenómeno en cuestión. Especulaciones matemáticas abstractas usadas para explicar subconjuntos de fenómenos biológicos o, como es tan común, sistemas biológicos muy particulares, no constituyen una teoría. Debe recordarse que las soluciones de relevancia para la biología están determinadas, más que por sus características geométricas y algebráicas, por las condiciones físicas y biológicas que seleccionan las características y tipos de funciones buscadas como solución. De hecho, la resolución del problema biológico puede no estar tanto en los detalles técnicos de las soluciones encontradas sino en casos muy específicos, ejemplos particulares que, frecuentemente, son matemáticamente “poco interesantes’’ pero sumamente ricos para la solución del problema biológico.

La matemática aplicada es como un microscopio. Existen microscopios de muchos tipos: desde los más sencillos que sirven para capturar características morfológicas en escalas de milímetros, hasta aquellos que permiten observar micro y ultraestructuras a escalas de medida sumamente pequeñas. Es claro que no cualquier microscopio sirve para cualquier fin. Si me interesa simplemente determinar la familia de una colección de artrópodos, uso un tipo de microscopio adecuado y no uno, para exagerar mi punto, electrónico. El microscopio es entonces una herramienta experimental que permite conocer aspectos de la naturaleza. Es obvio pero importante mencionar que aunque el microscopio es fundamental para cierto tipo de problemas biológicos, no lo es para todos, en algunos ni siquiera se usa.

La resolución del problema biológico puede no estar tanto en los detalles técnicos de las soluciones encontradas sino en casos muy específicos, ejemplos particulares que, frecuentemente, son matemáticamente “poco interesantes’’ pero sumamente ricos para la solución del problema biológico

Así ocurre con la matemática. La matemática es un microscopio metodológico que nos permite describir, explicar o predecir fenómenos de naturaleza biológica. La variedad de métodos y técnicas matemáticas que se han desarrollado a lo largo de los siglos proporcionan una gama considerable de herramientas para resolver muchos tipos de problemas biológicos. Pero no todo problema biológico requiere del uso intensivo o extensivo de técnicas matemáticas y, alternativamente, no existe una única manera de modelar un proceso (piense el lector en los enfoques estocásticos y determinísticos de crecimiento poblacional). Por supuesto, siempre hay necesidad de contar, de cuantificar, de registrar la información, de organizar los llamados datos de alguna manera significativa. Pero ese hecho inexorable no es el motivo de mi discusión. Claramente la cuantificación y el conteo son procedimientos básicos pero difícilmente pueden pensarse como modelos matemáticos, característica distintiva del uso de las matemáticas que estoy tratando aquí.

Como he mencionado en algún párrafo anterior, analizar una ecuación matemática no es hacer teoría biológica. Las ecuaciones de Lotka Volterra de competencia interespecífica, por ejemplo, nos describen un tipo de dinámica poblacional de especies en interacción. El análisis matemático de puntos de equilibrio, estabilidad local, isolíneas cero, plano fase, etcétera, son, sin embargo, resultados que permiten una interpretación biológica, dentro de la teoría biológica de la dinámica de poblaciones, y la generación de hipótesis particulares en términos de la interpretación de los parámetros del modelo, sobre las causas de la extinción de una u otra especie, el famoso principio de exclusión competitiva, y las causas de la coexistencia de ambas. Es innegable la importancia de las ecuaciones de Lotka Volterra para explicar ciertos fenómenos básicos de la dinámica poblacional de especies interactuantes. Queda la pregunta de por qué puede hacerlo.

Un modelo matemático no se limita a un conjunto de ecuaciones que hay
que analizar para que luego un biólogo pueda “darle una interpretación biológica”
a sus resultados, como muchos matemáticos entusiastas, pero quizás hablando un poco a la ligera, dicen a sus estudiantes

Un modelo matemático, en mi opinión, no se limita a un conjunto de ecuaciones que hay que analizar para que luego un biólogo pueda “darle una interpretación biológica” a sus resultados, como muchos matemáticos entusiastas, pero quizás hablando un poco a la ligera, dicen a sus estudiantes. Un modelo matemático se encuentra determinado y definido por el problema biológico que se quiere resolver, la pregunta biológica que se quiere contestar. Después viene el marco referencial, el marco teórico desde el que el problema, en principio, surge, se percibe como problema, y que seguidamente proporciona el marco conceptual desde el que es posible postular una explicación. Solamente cuando estos dos aspectos, la pregunta y su marco de referencia, quedan establecidos, un modelo matemático puede desarrollarse. De ahí mi afirmación de que la matemática en biología es una herramienta metodológica.

Enfocando a los modelos de esta manera es posible entender que una pregunta particular y el marco referencial correspondiente no requieran necesariamente para su solución de un modelo matemático, sino que pueda ser contestada con argumentos conceptuales de una manera clara, sólida y contundente. Un ejemplo que me viene a la mente es el artículo clásico de Hairston, Smith y Slobodkin (1960). En éste, con una discusión basada en la teoría biológica sobre dinámica poblacional, los autores proporcionaron una explicación amplia y robusta del papel de las redes tróficas y la interacción entre sus niveles en la composición de comunidades ecológicas. De la observación de que las comunidades terrestres son característicamente verdes, es decir, las plantas frecuentemente tienen hojas, dedujeron que los herbívoros juegan un papel relativamente menor en la regulación de poblaciones vegetales; a partir de ahí y de otras observaciones pertinentes dedujeron que las plantas deben estar reguladas por competencia y que los herbívoros deben estar regulados por depredación. En el trabajo citado se puede apreciar la clara influencia de la teoría surgida de las ecuaciones de Lotka Volterra, pero el argumento en sí del artículo no nos muestra ningún tipo de formalismo matemático. En este caso la herramienta matemática no es necesaria para generar y postular la teoría, aunque hace uso de explicaciones verificadas surgidas de teorías ligadas a un modelo matemático.

En resumen, un modelo matemático no es simplemente un conjunto de ecuaciones, sino que es, en mi opinión, un proceso mediante el cual se define una estrategia de solución de un problema en particular. La metodología es matemática, pero podría ser de otra naturaleza.

Coda

Las matemáticas son una parte esencial, necesaria, de la biología teórica únicamente como herramienta metodológica. No dejamos de reconocer que existen áreas de la biología en donde la matemática ha jugado un papel esencial en la generación de teorías matemáticas de procesos biológicos. Un ejemplo distinguido e importante es la genética de poblaciones. Otras líneas contrarias de pensamiento literalmente rechazan el uso de las matemáticas para la investigación biológica de importancia, en particular para la generación de teorías demostrables en el campo o en el laboratorio. Sin embargo la ecología de comunidades es un claro contraejemplo de que el uso inteligente de modelos matemáticos puede ligarse de forma no trivial a resultados experimentales y de campo. En particular, en esta área es evidente el uso amplio y profundo de las matemáticas, donde éstas son un instrumento de generación de hipótesis, predicción de resultados validados en campo o laboratorio. Aspectos de la teoría están fundamentados en matemáticas, destacadamente la teoría de metapoblaciones, pero aun en ella la discusión fundamental no se basa en los modelos, sino en extensiones conceptuales de esos modelos, por ejemplo, las ideas de parches tipo fuente y sumidero, la hipótesis de núcleo-satélite y otras.

La biología y las matemáticas son dos disciplinas que se han beneficiado históricamente en intercambios y colaboraciones que se hacen muy evidentes hoy en día, cuando nuevos enfoques matemáticos, apoyados en herramientas computacionales y de modelación, pueden ser aplicadas para la solución de problemas biológicos fundamentales (Palmer y colaboradores, 2003). La biología necesita de las herramientas y el lenguaje de la computación y la modelación matemática para entender las redes complejas que son, a la fecha, objetos centrales de estudio en todos los niveles de organización biológica: desde moléculas hasta ecosistemas.

La matemática es como un microscopio metodológico, versátil, potente pero acotado, afortunadamente, por la gran riqueza teórica, conceptual de la investigación biológica. Terminaré citando la opinión de Einstein sobre el papel de las matemáticas en física –que me parece vale también para el papel que juegan en la biología–, en una carta dirigida a Felix Klein cuando éste exaltaba su poder (citado en Garber, 1999):

“Sin embargo todavía me parece a mí que está usted sobrevalorando los puntos de vista puramente formales. Éstos son ciertamente preciosos cuando existe una ya descubierta verdad que debe ser formulada, pero casi siempre fallan como ayuda heurística.”

Sin embargo todavía me parece a mí que está usted sobrevalorando los puntos de vista puramente formales. Éstos son ciertamente preciosos cuando existe una ya descubierta verdad que debe ser formulada, pero casi siempre fallan como ayuda heurística.

 

Agradecimientos

Este trabajo está basado en las ideas expresadas por el autor en la presentación del libro Clásicos de la biología matemática, F. Sánchez-Garduño, P. Miramontes y J. L. Gutiérrez-Sánchez, Siglo xxi, realizada en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México el 6 de marzo del 2003.

Este trabajo fue redactado en su forma definitiva mientras el autor realizaba una estancia de investigación en el cimat, a.c., cuyo generoso apoyo agradece. Asimismo, este trabajo fue financiado por el proyecto D.00154 del Instituto Mexicano del Petróleo.

Bibliografía

Bray, D. (2001), “Reasoning for results”, Nature 412; 863.
Chicurel, M. (2000), “Life is a game of numbers”, Nature 408: 900-901.
Doyle, J. (2001), “Beyond the spherical cow”, Nature 411: 151-152.
Garber, E. (1999), The language of physics, Birkhauser.
Hairston, N. G., F. E. Smith y L. E. Slobodkin (1960), “Community structure, population control and competition”, The american naturalist 94: 421-425.
Palmer, M. A., P. Arzberger, J. E. Cohen, R. D. Holt, J. L. Morse, D. Summers y Z. Luthey-Schulten (2003), Accelerating mathematical-biological lnkages. Report of a joint NSF-NIH workshop held February 12-13, 2003 at the National Institutes of Health. Bethesda, MD.
Jorge X. Velasco Hernández (2000), “El gen, la forma, el virus y la idea: una perspectiva personal de la biología matemática”, Miscelánea matemática. 32: 5-38.

Jorge X. Velasco Hernández nació en Oaxaca en 1960; es biólogo egresado de la Universidad Autónoma Metropolitana (uam) Xochimilco, maestro en matemáticas por la uam Iztapalapa y doctorado en matemáticas por la Claremont Graduate School. Realizó su posdoctorado en la Universidad de Cornell en biología teórica y computacional. Fue profesor en la uam Xochimilco (biología) de 1982 a 1993, y de la uam Iztapalapa (matemáticas) de 1993 a 2003. Es ahora investigador del Programa de Matemáticas Aplicadas y Computación en el Instituto Mexicano del Petróleo. Su área de interés es la modelación matemática de procesos biológicos, particularmente en ecología de poblaciones, epidemiología de enfermedades infecciosas y estructura y dinámica de consorcios bacterianos. Ha sido profesor adjunto de la Universidad de Cornell, miembro asociado del ictp, presidente de la Asociación Latinoamericana de Biomatemática, presidente de la Sociedad Latinoamericana de Biología Matemática; es editor asociado del Bulletin of mathematical biology y coordinador del World Outreach Committee de la Society of Mathematical Biology.
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